И.Ф. Радковец (ЗапСибНИИгеофизика)

Р_гор ⁼ Р_ск + Р_пл (1)

Р_ск ⁼ Р_гор – Р_рпл (2)

P_гор=d_ГПgH, (3)

Р_пл=d_вgН, (4)

где d_ГП и d_В - плотность насыщенных горных пород и воды соответственно;g - ускорение свободного падения; Н - глубина до точки определения параметров.

Отсюда легко находят Р_ск:

Р_ск=gH(d_гп-d_В). (5)

Однако значение параметра Р_ск, вычисленное по формуле (5), значительно меньше фактически существующих напряжений в природе. Видимо, поэтому было решено, что не вся величина пластового давления направлена на разгрузку горного, и поэтому при параметре Р_пл в уравнении (1) справедливо появляется коэффициент n, а формула (2) принимает вид

Р_ск = Р_гор - n Р_пл (6)
где 0< n < 1.

Пусть на некотором участке отложений вся площадь горизонтального поперечного сечения пород равна S, а часть сечения, приходящаяся на пористую среду, равна S_п. Тогда вместо уравнения (2) следует записать:

Р_ск(S – Sп)= Р_гор S - Р_пл Sп (7)

откуда после ввода нового параметра – коэффициента просветности, равного

K_S=S_п/S, (8)
и после преобразований получим:

P_гор=Р_ск(1-K_s)+P_плK_s. (9)

F_ПЛ=Р_плS_п (10)

Fгор =Pгор Sп (11)

F_пл не компенсирует F_гор полностью, и эта нескомпенсированная часть в результате будет приходиться на твердую фазу пород, увеличивая в ней напряжение.

Для того чтобы объяснить причину возникновения формул (1) и (2), необходимо рассмотреть их происхождение.

Немецкий исследователь Терцаги на основании лабораторных опытов Рендулика и своих собственных [3] пришел к выводу, что если на пористый образец, помещенный в непроницаемую оболочку, окаймляющую его боковую поверхность, сверху давит столб воды, то при отсутствии разделяющей пластины это давление не вызывает деформации грунта (рисунок). При действии каких-нибудь иных механических сил (например, эквивалентных действию массы свинцовой дроби) слой грунта окажется заметно сжатым. На основании этого Терцаги предположил, что сжимающее напряжение в водонасыщенном грунте включает в себя две составляющие – нейтральное гидростатическое давление P_w и эффективное s_эф. Сумму этих давлений он назвал полным

s = s_эф+P_w. (12)

Для того чтобы можно было подтвердить это замерами, были произведены испытания образцов по следующей схеме: в дополнение к осевому давлению s', действующему посредством пластины, было добавлено всестороннее Р_вс с помощью сжатого воздуха или глицерина (см. рисунок). К жидкости, насыщающей поры, через фильтрующий камень подсоединены манометр и кран. Так как обе составляющие создают напряженное состояние образца, то было решено, что каждое его горизонтальное сечение испытывает вертикальное напряжение, равное сумме осевого давления и всестороннего

s_г=s'+Р_вс, (13)

а каждое вертикальное сечение – только всестороннее давление

s_II= s_III = р_вс (14)

На основании таких лабораторных опытов Терцаги и Рендулик сделали вывод, что деформация образца e и сопротивление сдвигу с зависят от разницы между полным напряжением и давлением в порах P_w, т.е. от эффективного давления:

e=f(s_эф) (15)

c =f (s_эф) , (16)

где s_эф = s'+P_вс-P_w. (17)

Из определения коэффициента упругости относительная объемная деформация образца e может быть найдена по формуле

e = s₀b₀. (19)

e = e_ск , (20)

P_w=s₀=b₀/b_ж, (21)

где b₀, b_ж - коэффициенты упругости горной породы и жидкости соответственно; s₀ - среднее напряжение в образце (находится согласно теории упругости), равное:

Для прямой пропорциональности между e и s_эф необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось условие: e/s_эф = const. (24)

Найдем предел отношения (24) при V-> 0,5:

Из уравнения (25) видно, что при коэффициентах Пуассона, равных 0,5, существует прямая пропорциональная зависимость между e и s_эф. С уменьшением значения v зависимость (15) отклоняется от прямой линии.

Если относительные деформации e_ск и e не равны между собой, то давление в порах может быть представлено общим уравнением

где b_ск - коэффициент упругости скелета.

Решая аналогичным образом при V = 0,5, получим также:

Терцаги и Рендулик работали с грунтами – песком и глиной. Коэффициенты Пуассона для таких пород довольно велики, поэтому они могли с достаточной степенью точности получить прямую пропорциональную зависимость между eи s_эф в некотором небольшом диапазоне изменения внешних сжимающих сил, пока упругие свойства образцов сохранялись постоянными. В других случаях (небольшие значения v, изменяющиеся коэффициенты упругости) зависимость e =f(s_эф) должна отклоняться от прямолинейной, но эти случаи не характерны для грунтов, поэтому Терцаги обнаружил только прямую пропорциональность. И поскольку при этом значение e не зависит от P_w, то он и предложил уравнение (12), которое впоследствии было использовано в геологии.

Насколько правомерно переносить результаты лабораторных исследований в условия естественного залегания горных пород, в настоящей статье не рассматривается. Но поскольку этот перенос уже осуществлен, уточним, что определяет s_эф для отложений в земной коре. Обратимся к первому опыту Терцаги, когда при отсутствии металлической пластины сверху непосредственно на образец давит столб жидкости (см. рисунок). Отсутствие деформации грунта в этом случае можно объяснить тем, что вода заполняет все поры образца и ее давление, распределяясь по всем направлениям, действует на каждую частицу в отдельности. Последние, деформируясь, уменьшаются в размерах. Следует полагать, что настолько же увеличивается и пористое пространство, поэтому общие размеры образца остаются без изменений. На этом основании Терцаги назвал давление воды нейтральным. Такое же действие оказывает на горные породы в земной коре насыщающая их жидкость. Поэтому пластовое давление также можно назвать нейтральным. Давление же твердой ненасыщенной вышележащей толщи отложений, аналогичное действию свинцовой дроби на образец, деформирует залегающие породы и поэтому его следует называть эффективным. Полное напряжение в этом случае в соответствии с формулой (12) будет

s = s_эф+Р_пл. (28)

Параметр s_эф можно выразить уравнением

s_эф=d_скgН, (29)

где d_ck - средняя плотность скелета вышележащих отложений.

Уравнение (28) выражает не суть формулы (1), записанной вначале: параметр s вовсе не равен Р_гор. Это видно из следующего.

Для определения s_эф плотность скелета породы можно найти из системы уравнений

где d_Т - плотность твердой фазы породы K_п - коэффициент пористости,

d_ск = _гп -_ВК_П. (32)

По известной плотности _ck определяются эффективное и полное напряжения:

s_эф>P_ск, (35)
а

s>Р_гор. (36)

Гидростатическое давление образуется насыщающей жидкостью и действует на каждую частицу в отдельности, не прижимая их друг к другу. Поэтому внутри частиц создается напряжение, равное сумме обеих составляющих, т.е. полное напряжение, а на контакте между ними – только одно, эффективное.

1. Массой скелета вышележащей толщи, если последняя также пористая; в этом случае _эф находится по формуле (33).

2. Массой всей вышележащей толщи, если в кровле коллектора залегает плотный пласт; тогда _эф вычисляется по формуле (38).

Горное давление Р_гор определяется формулой (3) и меньше полного, в результате чего выражение (1) является неравенством Р_гор < Р_ск + Р_пл и должно быть исключено из учебной литературы по физике пласта. Вместо него следует пользоваться уравнением (28).

1. Гиматудинов Ш.К., Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1982.
2. Котяхов Ф.И. Физика нефтяных и газовых коллекторов. - М.: Недра, 1977.
3. Терцаги К. Теория механики грунтов. -М.: Госстройиздат, 1961.
4. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. - М.: Гостоптехиздат, 1959.

The present article deals with the known formula in petrophysics describing a relationship between rock pressure, rock skeleton stress and saturated liquid pressure. Author proves that this formula is against the physics laws and therefore a rated rock skeleton stress appears to be too low, and suggests to exclude it from petrophysics text-books. Considering that formation pressure counteracts rock pressure not over the whole area of rock section but only at localities occupied by a liquid, the author suggests his own solution of the problem and derives a formula complying with physical reality.

1 - образец; 2 - резиновая оболочка; 3 - металлическая пластина; 4 - фильтрующий камень; 5 - свинцовая дробь; К - кран; М - манометр