η = (V_{| |} – V_^)/V_^. (1)

Предположим, что имеется граница раздела, которая отделяет верхнюю изотропную среду от нижней анизотропной, и поперечная волна, поляризованная в некотором направлении x₁, распространяется вниз вдоль вертикальной оси x₃, x₁ и x₂ являются горизонтальными осями координат в стандартной системе. Анизотропия обусловлена единой серией вертикальных трещин, направление простирания которой образует угол q с осью x₁, x₁ и x₂ являются новыми осями координат, ориентированными так, что x₁ параллельна простиранию трещин. Коэффициенты отражения нормально падающей поперечной волны, поляризованной параллельно и перпендикулярно простиранию трещин, будут равны:

где rV – поперечный импеданс вышележащего изотропного слоя; r* – плотность анизотропной среды. Если трещины открыты, то

V_{| |} > V_^. (4)

Отсюда x^*₁ является быстрым, а x^*₂ медленным направлениями распространения волны. При выполнении неравенства (4) должно выполняться соотношение

R₂>R₁ (5)

Обозначим через P_i вектор смещения падающей поперечной волны единичной амплитуды

Если волна поляризована в направлении оси x₁ , то

В естественной системе координат амплитуды отраженной волны будут получены умножением ее быстрой компоненты на R₁, а медленной – на R₂ согласно

Компонента отраженной волны по оси x₂ не равна нулю. Следовательно, падающая и отраженная волны поляризованы по-разному. Угол поляризации отраженной волны относительно падающей равен

Отсюда следует, что измерение углов вращения падающих поперечных волн, поляризованных в различных направлениях, может быть использовано для определения простирания трещиноватости пород и отношения коэффициентов отражения r. Эта задача может быть представлена как проблема инверсии. Для падающей поперечной волны, поляризованной относительно оси x₁ под углом d_i, уравнение (11) будет иметь вид

Квадратичная ошибка между некоторым заданным модельным углом поляризации x_i и теоретически определенным значением Фi равна

Путем обращения (14) находятся значения r и q, которые минимизируют Е. Предполагается, что поперечные волны возбуждаются двумя ортогонально ориентированными источниками и принимаются двумя группами сейсмоприемников, каждая из которых ориентирована параллельно действию соответствующего источника с последующим вращением в естественной системе координат. Величины U₁(t) и U₂(t) представляют собой отклики отраженной волны, образованные падающей поперечной волной единичной амплитуды, поляризованной в направлениях ее быстрого и медленного распространения. Годограмма получается путем отложения значений U₁(t) по горизонтальной оси, a U₂(t) – по вертикальной.

Для случая одного отражения обе компоненты находятся в фазе. Поэтому годограмма представляет собой прямую линию, наклоненную под углом y(tgy=R₂/R₁ = r), который представляет собой угол поляризации в естественной системе. Для изотропной среды R₁ = R₂, ψ = 45° θ Φ = 0. Ηначение угла y зависит от анизотропии пород, что и позволяет определять ее. Ключевым вопросом является изучение возможности определения угла y по голограммам отраженных волн. С этой целью были выполнены модельные исследования. При этом предполагалось, что анизотропный слой перекрыт изотропным пространством.

Следовательно, первичные отражения от верхней и нижней поверхностей имеют противоположные полярности, а все кратные волны имеют ту же полярность, что и первичные отражения от нижней поверхности, t₁ и t₂ представляют собой двойное время пробега быстрой и медленной компонент волн в слое. Для расчета было взято три волновых импульса с частотами 50, 75 и 100 Гц, Толщина слоя менялась таким образом, чтобы величина τ₁ находилась в пределах от 2 до 24 мс. Расчеты для минимально- и нуль-фазовых импульсов оказались идентичными. Сначала был взят импульс длительностью 40 мс.

Для очень тонкого слоя (2 мс <= τ₁<= 12 мс) обе однократные волны от нижней границы вступают на приблизительно равных временах и имеют практически одинаковые амплитуды, что не позволяет надежно установить различия в характере их движения. Угол поляризации, вычисленный для различных отношений R₂/R₁, постоянен и равен 70 °. Для каждого значения τ₁ были определены прямые линии, проходящие через начало координат, которые наилучшим образом соответствовали годограммам, y обозначает угол между прямой линией и быстрой осью. Для тонких слоев ошибка не превышает нескольких градусов.

Расчеты, выполненные для более мощных слоев, показали, что расчетные данные хорошо сходятся между собой для случая, когда f₁ “ f₀. При других соотношениях f₁ возможны различия. Расчеты также показали, что оценки y мало зависят от толщины слоя при f₁ ” f₀, При этом значения yc, определенные по годограммам, отличаются от ψ для бесконечно толстого слоя по крайней мере в 4 раза. Поэтому в тех случаях, когда анизотропия обусловлена одной системой ориентированных трещин, значения yc могут быть использованы для определения плотности трещиноватости пород.

Годограммы, построенные для полной длительности отраженной волны, имеют другую форму. При минимальных значениях τ₁ годограммы аппроксимируются эллипсом, главные оси которого ориентированы вдоль yс. Эллипсы определяются отношением осей В/А. При определении поляризационного угла y предполагалось, что плотность трещин изменяется по латерали. Поэтому R₁ и τ закреплены количественно. Значения R₂, τ₂, ψ θ η ηависят от плотности распределения трещиноватости. Направление длинной оси эллипса определяется углом поляризации.

Так как η увеличивается от 0 до 27 %, то угол поляризации изменяется от 45° до, приблизительно, -60°. Для η = 0 отношение осей эллипса равно 0. Оно увеличивается до максимума при η = 6,5 %, а затем уменьшается до 0 при η = 10 %. При η = 10 % говорят о критической анизотропии, которая обычно наблюдается при отрицательных R₁, при которых эллипс вырождается в линию. При положительных значениях R₁ основная ось располагается под углами 90 и 30°. С увеличением η кривые В/А стремятся к своим асимптотическим значениям, которые имеют две узловые точки, соответствующие случаю изотропной среды и критической анизотропии.

Чувствительность y к изменениям анизотропии определяется соотношениями R₁, R₂ и η. Для резервуаров, в которых плотность трещиноватости изменяется только по латерали, R₁ характеризует ненарушенность системы, a R₂, ψ θ η ηависят только от плотности трещиноватости. Для небольших отрицательных значений R₁ изменение может достигать 120° для 10%-го изменения η.

Для небольших положительных значений R₁ изменения y могут достигать 35°. Угол поляризации y более чувствителен к изменениям анизотропии, чем любые другие сейсмические параметры. Для f₁ ” f₀ годограммы по форме приближаются к эллипсу. Направление главной оси определяет угол поляризации yс. Кривые, характеризующие отношение осей В/А, являются конечным результатом анализа полученных в поле годограмм. Каждая кривая соответствует постоянным значениям R₁ и f₁ .